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摘要：市场经济恳求数学教育重在培养三足鼎立能力：1、把具体实际问题列成数学式子或抽象成几何图形等的能力；2、从解式子、几何求证过程中须找出该具体问题具体发展规律的能力；因解式子、几何求证过程无非就是找数学规律的过程，而凡规律都是事物运动的规律，只有将这种规律同具体事物结合，指导我们具体实践的进行，找规律才有用；3、确定数学结果所对应具体事物发展的质变、量变形式。而现行数学学习只注重解式子、几何求证能力--这种数学能力现在只需要计算机干就已完全足矣，即使现在时兴的建立数学摸型的学习，也多是用已有数学摸型去套具体实践，而不是市场经济真正需要的那种把具体实践抽象概括成数学模型的能力。
从小学到大学接触的数学，大致可划分为两类：一是可用算式表示的式子数学，如四则运算、方程式、三角函数、微积分、行列式、概率论等；另一类是用图形主要是几何图形表示的图示数学，如平面几何、立体几何、解析几何等。
一、把具体实际问题列成数学式子或抽象成几何图形的能力。
1、数学中的式子和图示有个特点，都具有高度的抽象性，
即人们可把现实中的某个具体问题、具体实践列成一个相应的数学式子或绘成相应的一个数学图形。但是，一旦成为数学式子、数学图形之后，这式子、图形就不只代表这一个具体问题、具体实践，而是代表成千上万个同类具体问题、具体实践的共性，却省去了各个具体问题、具体实践的独特个性。例（5-2=？）可由儿歌“五只青蛙岸上叫，两只青蛙跳下水，岸上青蛙剩几只？”列出，但（5-2=？）并不只反映这首儿歌，我们每个人随意都能想出可用（5-2=？）的许多具体情况。
2、但是，数学性抽象完全不同于我们通常所说的共性抽象法。
我们一次只能接触一个具体情况，而不能同时接触所有或大部分同类的具体情况。数学应用往往要求，这第一步不是语文上的从一系列具体事物中去概括出一般原理的那种抽象，而是从一个具体情况中去加工出能反映一系列具体情况的一般原理的抽象。任何一个具体情况都有众多个性，但决定着事物发展性质、发展方向的主要个性通常仅有几个。并且，事物在不同发展阶段上或不同运动情况下其决定性个性仍有不同。数学要求针对事物运动的某个具体情况，把其主要或决定性个性及其之间的相互关系用数学式子、数学图形表示出来。这个过程是省去事物的许多个性而只保留极少数个性的过程，这极少数个性的综合所反映的却不是这个具体事物，而是具有这些特性的所有同类事物。
3、把具体问题进行数学性抽象有四大特点：
一要抽象出事物运动的决定性个性。如果抽象出的不是事物运动的某个具体情况的决定性个性，则所列式子或图示无助于具体情况的具体处理。
二是只需抽象出一定数量的个性。如果所列式子或图示涵盖对事物运动的某个具体情况有影响的个性越多，越利于该具体问题的针对性处理。高精尖数学在这方面的步子迈得很大很快，甚至于像火箭发射中的数学几乎囊括了其所有个性，以至于可指到哪儿，打到哪儿。但我们的社会、实践、生活常常用不着一个式子或一个图示就只反映一个具体情况的数学，事实上，我们也没有能力万事都这样做。
三是往往只注重事物质变。在任何情况下，事物都处在不断运动变化中，虽其量变往往不为我们明显觉察、甚至于觉察不到，但其局部性质变我们能够感知，作为数学，一般是不反映这种量变和局部性质变的。要只反映全局性质变，就需要我们作数学处理，取变化的平均值或取起点值、终点值等，如取火车刹车前、刹车后的时点速度Vt,V0，求刹车过程中的负加速度a（实为负加速度的平均值），所列式子Vt=V0+at(t表示时间)就为一例，而不是对任何时点都取一个时点值、对任何两时点间都去求一个负加速度，实际上，这种量变对这种问题意义不大。
四是抽象过程同时也是对具体事物进行一定程度上地人为主观性处理的过程。由于人类对数学的认识有限，和我们个人对数学学习的循序渐进性，使得我们个人所掌握的数学难以对各种具体问题作完全“因地制宜”的数学处理，因而，常常、也的确需要把一些实际问题进行一定的加工处理为我们已学的数学所能解决的那类问题。如土地丈量，往往把各式各样的地块“拼接”成长方形、正方形、梯形、三角形等而实地丈量，才利于列求面积式子以便进行下一步的计算。正因为这第一步的抽象使数学与具体情况相脱离，才使得我们后两步只有结合具体实际，才利于具体问题的具体处理。
但实际的数学学习、研究往往轻视、忽视这一步，一般是根据书上、教师、他人已经找出、整理好了的一些理想状态下的数字及其关系，列式子、画几何图示，但人们最需要的是培养、具备把具体问题的实际情况抽象为理想状态的能力，却恰恰被我们省略了，作为学生，一定要走上社会，社会上人们若从具体情况中找出、整理好了数学所需变量、数字、及其数学关系，那他一定能顺便列出式子、图示，谁愿让你去坐享其成。况且，计算机解式子、几何求证比你快、准。
二、从解式子、几何求证过程中须找出该具体问题的具体发展规律。
不论共性规律还是具体规律，凡规律都是事物运动的规律，只有将这种规律同具体事物结合，指导我们具体实践的进行，找规律才有用；因解式子、几何求证过程无非就是找数学规律的过程，而数学规律只是同类事物的共性规律，根本不是具体事物的具体规律，只有具体事物的具体规律才有助于具体问题的成功解决；只有把数学性共性规律具体化为具体事物的具体规律，才是我们数学的实践应用。
1、结合具体问题找出解式子、几何求证过程所反映的共性规律：
一是根据我们的实践需要，常从解式子、求证过程中找出一个一般规律。例微积分。在路程（单位是米）和时间（单位是秒）的方程式中，反映的是路程与时间的函数关系；对路程的一阶时间求导即一阶微分，单位变为（米/秒），则式中路程变量转为速度变量，转为反映速度与时间的函数关系；再对速度一阶时间求导，或对原始式子的路程直接进行二阶时间求导，单位变为（米/秒2），则式中的速度变量或路程变量转为加速度变量，转为反映的是加速度与时间的函数。即这里的一阶导数是让我们从路程与时间关系中发掘出速度与时间的关系，或从速度与时间关系中发掘出加速度与时间的关系，这里的二阶导数是让我们从路程与时间关系中发掘出加速度与时间的关系。反之，对加速度与时间的函数关系式进行一阶时间积分，转为速度与时间的关系式；接着再进行一次一阶时间积分，转为路程与时间的关系式。而微积分实际上还可反映其他成千上万种具体事物不同变量函数关系的转化规律。
二是根据我们实践的变化、创新需要，可从解式子、求证过程中所揭示许多一般规律中选出我们所需的。如，读过中学的都有知道，随手写一个三角函数式例sin3θtgθcos0.5θ，可以演变出成千上万个等式变换,每一个变换都是代表一种变化规律。但结合具体情况来看，其中sin3θ，tgθ，cos0。5θ，分别可指现实生活中的哪些具体问题，这三个三角函数项之间的乘号是表示这些问题之间的什么关系，还有，这个三角函数式的近于成千上万的等式变换可表示每一个具体问题的怎么样具体变化发展，有多少人能够说出个一二三的？这成千上万个等式变换又给我们具体实践提供了成千上万实践方式，但其中仅有一些是靠我们的条件和实力所能进行实践的，而省钱、省力、省心且舒心的实践则更少--我们学习的目的就是要挑选出这些实践方式，否则还不如把这些耗时用于玩儿还开心，用于睡大觉还休养身心。但社会却只需要这一二三--因为，这才是有助于解决具体问题的具体规律。一个数学式子、图示中有的规律往往不只一个，不过，很多时候，只因我们能力有限，一次只能找出一个而已。
三是根据我们实践需要，可从同一个式子、图示的不同求解、求证过程中，发掘出不同的一般规律。如同一组方程式，可分别采取式子求解、直角坐标解析、行列式解析等方法。例A、B两地相距40公里，甲军的行军速度每小时比乙军快4公里，甲乙两者分别在A、B两地，要求4小时后会合。设甲、乙两者速度分别为x、y，则有方程组
4x+4y=40 ①
x-y=4 ②
第一种方法采用式子解析,将②式变为x=y+4,代入①式,则使整个方程组的二元函数关系变成一元函数关系,4(y+4)+4y=40,即是我们常说的把非标准化的事物按标准化进行折算的规律,便于简化事物及计算;第二种方法是采用平面解析（图略），在平面直角坐标系中,方程①为直线L1,L1揭示了一个规律：即不管甲、乙两者各自速度是快是慢，或是走走停停，只要两者在4小时内各自的平均速度相加为每小时10公里，就能会合；方程②确定的直线L2是对L1的限制关系规律为：只要确定了甲、乙两快慢关系，则就确定了会合地点。即L1反映的是两者一定要按时会合的规律，再加上L2后反映的是两者在何地会合的规律。第三种方法采用行列式（行列式运算略），……行列式的解析过程中，任何两行之间发生的每种关系的结果都是通过原两行函数反映的图形交点的另一条直线、另一个平面等，在此例中，在原行列式基础上形成的任何一个新行都是通过点K（7，3）直线族中的某一条，其中每两条直线的组合，就反应了其他任意两个地点都能到K点会合的一个方案：即行列式揭示的是任意两点都能到K地会合的规律。
但应注意，数学揭示的规律并不是只从一个角度去反映共性运动，对同一个规律，不同的式子、不同的图示所揭示出来的可能不一样。有的就只反映这一个规律，有的是同其他规律融化在一起反映出来的；有的把这个规律作为事物的主要矛盾来反映，有的则把这个规律作为事物发展的次要矛盾加以反映……
2、把共性规律转化为具体事物的具体运动方式、过程。
首先，找出第一步中我们省去的一些对事物发展有一定影响的个性，和找出在事物发展过程中需要增减的个性，有些个性没被抽象进我们的数学中，但其在事物发展的一定阶段上、或其在事物一定的环境中却转而成为事物的决定性因素，有些甚至在偶然或特定情况下，对事物的决定性作用才表现出来。相反，有些被抽象进数学中的个性，在事物发展运动中可转为对事物发展起次要、甚至于不起作用的个性。
其次，把我们所找出个性对从解数学式子、几何求证中所找的共性规律进行实践化影响性调整，确定我们具体实践的具体方式、过程。这种调整往往采用非数学化方式，使共性规律尽量具体化为具体实践的具体发展规律，而只有据具体实践得出的具体表现形式，才能被我们有效感知，只有感知后，我们才知道其与我们要求之间有无差距，差距到底有多大？如此不断进行个性化影响性调整，使其结果的表现形式向着我们所需的不断靠近。当然，能一次性达标则最好。当这种非数学化的调整难以奏效时，我们应否定结果，重新列式子、或数学图示。当数学结果满足我们的要求时，再回头从解式子、几何求证中找出我们实践所需要的事物运动的具体方式，因为，数学运算过程中往往不只一种求算方法，每种方法就对应着事物的一种运动方式。具体调试方法可灵活多样：对我们有利的战果，我们应从数学过程中选出更有助于扩大战果的事物运动方式，这里应注意，常有我们运算上是最简单的，但对于我们某一具体实践的操作却是最复杂、最困难的；对于不利的结果，我们或者对其事物运动过程增减一些个性，或者改变其中个性对事物发展的作用，或者利用其他共性规律使其产生其他结果或不发生这个结果；或者在这个共性规律中注入一些新个性；甚至我们还可在这些共性中进行共性的增减变动及其不同的有机组合排列，转变成新实践运动规律；或者把事物放在其不同发展阶段上去进行具体调试；或者置于不同具体环境中去进行适应环境的具体调试。
3、把这种共性数学规律具体化为具体实践的具体规律是定量性解决问题的关键。
不把数学规律具体化为具体实践规律是根本不能解决具体问题的。要解决具体问题，必须要有能操作、可行的具体方案；只有结合具体情况，才能找出问题的具体原因--事物具体规律对事物已发生作用后的一种表现形式，才能找出解决问题须遵循的规律，制定出的方案才有可行性；只有针对具体情况制定出的方案才有操作性。只有把共性规律同具体问题结合，进行具体问题具体分析，即对共性进行个性丰富完善化，使之变成具体问题的具体发展规律，才有助于具体问题的成功解决。例第一条直线a 与第二条直线b 平行，而第二条直线b 又与第三条直线c 平行，则第一、三条直线互相平行, 即a//b。这只是共性规律，只掌握共性规律是解决不了任何问题的，但只要一具体化为具体规律，则万事都能迎刃而解，如要想作一个方形盒，若用六块木板，则只需先把两块板的四边刨成平整的直线，且四边成直角关系，再把两块板上画出所需的方形，就可把前两板的板边对准后两板的画线钉牢，最后把其余两板（不必画线），直接对上钉好，则一定是个方形容器--由平行传递性共性规律可推出这六块板任何两条拼接线不是平行就是垂直的具体规律，当然，要想其外形美观，只对其外部进行简易加工即可。这比先把六块板都作成标准的方形板后再拼接省事得多，尤其是作一两个时，说实在话，一块板标准就不那么容易，要让六块板先标准再拼接标准真是太难了：这就是能不能用数学的区别。把这平行传递规律同房屋建筑检测结合，则楼房屋顶平面的对边即屋沿应是两条平行线，且屋沿线应与水平线平行，则检测方法可为先测一屋沿是否水平，然后测这一屋沿的对边与之是否平行，若是，肯定此房不歪不邪……
对同一个具体式子、图示，但不同的具体情况往往需要其不同的规律。如一个三角形，做鼎时是用其稳定性而设计三足，做角柜时是利用其直角性刚好能与墙角稳合而有效利用墙角空间，知其某两边长度求第三边长度是利用其三边长度的联系性：a2+b2=c2 ，其中a、b表示两条直角边……
对这一步，我们往往把已是纯理论的数学再去进行纯净化处理--实为多此一举，市场经济却只要我们把纯数学过程进行神仙食人间烟火化处理而返璞归真。不信的话，随便问问别人和我们自己，从小学到中学、大学、甚至于硕士、博士、博士后，曾学过多少数学，除了加减乘除我们都能用于日常生活实践外，有多少人能把所学过的其它数学知识用于解决我们所面对的各种各样的具体问题。人们常辩解道：这种解式子、几何求证是重在培育数学逻辑性思维能力，但那只是贮藏于你头脑中而永远拿不出来用的纯私人能力--社会形象称之为“茶壶里装的汤圆，倒不出来”，再多又有何用？只有在学习过程中进行了这种把数学共性规律具体化为具体事物的具体规律的过程的，才能学以致用，这时，茶壶装的汤圆才能倒出来，汤圆装得越多越好！
三、确定数学结果所对应具体事物发展的质变、量变形式。
1、 应把数学结果具体化为具体问题结果的表现形式，或事物、实践发展结果的具体表现。
只有这样具体化后，我们才知道具体问题、事物、实践的具体结果是不是我们所需要的，或者与我们要求的实践差距有多大，为我们以下的个性化调整提供差距大小依据。因为，我们对具体实践的具体认知只能通过感觉器官，而感觉器官只能对具体事物的表现形式进行感觉。
2、把数学结果落实为具体事物的质变或量变规律。
任何事物发展都必然表现为一定形式，任何结果与问题的原来相比都有质变或量变之别。数学求算结果就是具体事物性数学规律发展结果对应的事物发展一定阶段的表现形式。同一个式子、图示中的同一个规律，对不同的具体情况的发生作用的结果可大不相同。同是（5-2=3），有五个质了的原子核一旦少了两个质子，就要发生质变，即核裂变，我们可运用此来制造防御性核武器、来建造核电站，外层只有五个电子的原子一旦少了两个电子，就变成离子，可用来导电、可用来发生化学反应；一只手有五个指头，幼儿园小孩子做游戏，一只手弯下两个指头，对手并无伤害，只是发生了量变，但在大人切菜时，就要警告：不要把手伸到菜板上来，很容易切着手，切掉了两个指头，你这手就残废了，则发生了质变。
3、我们的实践往往需要事物的质变、量变。
我们的实践往往就是要使事物发生质变，如植物杂交、肿瘤切除、广告的一鸣惊人效应、及要在击中目标时立即实现核裂变的核武器等；或在原来基础上只能进行量变，如据马克思主义哲学原理，虽然人也是时刻都处在不断的运动变化中，但只是在不断地进行量变，作为警察就应理解这只是一种量变，因而只要见过罪犯一面或只要有其像片在手，就可以对其进行终身辨认追捕，作为公民理解了这种量变后，就应克制自己不要去犯罪，因为一旦成了罪犯即使能在逃一辈子，也时刻提心吊胆怕碰见熟人、警察，到车站接久别的亲人，不要担心接错人；或把质变进行一定的量变化分解如延缓事物的发展过程，使人们只感觉到其是在没有发生质变的量变，如大连市的有轨电车票价1992年时是七分一张，是经过一角五分、三角、五角、才调到现在的一元的，市民们很平静地不断适应，但若就一次性从七分提到一元，肯定是没有多少人能适应的；或相反，把量变进行一定的质变化加工如加速事物的发展过程，使人们感觉到其是在发生质变，例植物生长、小鸡孵化的科教片如果完全按事物原来进程进行拍摄、播放，则肯定人们看得打瞌睡，但经过把其进行原来一年进行一秒化的缩时处理，则人们才能在科教片上看得见其生长的全过程；或者……。这些实践都既可用数学来解决，也可用其他知识来指导，应用数学则能更好地定量化解决。
这第三步，我们往往求出结果就算完事了。也就是说，这第三步的数学资源我们根本就还没有开发。
总而言之，数学学习能力培养的关键是在实践经历中学。实践是我们应用知识的唯一方式。数学揭示的是高度抽象的数量化共性规律，把其具体化为的具体规律则是事物运动发展的规律，而我们与事物发生作用于的唯一方式就是实践，只有把具体事物的具体规律转化为我们对具体事物的具体作用过程即具体实践，才把数学知识真正转化成了能力。只有把知识进行“实践”性经历过，才能培养知识应用能力。人，只有积极、主动地亲身深刻经历、或模拟性深刻经历、或在思维情感上深刻经历、或多次重复经历某一具体实践后，才真正培养了这种具体实践能力，而能力又是刚性的，一旦培养起来后，就很难再降低；人，只有用自己已理解的知识指导自己深刻经历某一具体实践后，才把从知识到实践的转化能力融于实践能力中而具刚性；人，只有自己自觉、主动、深刻地具体转化一次后，才能培养“思维主动出击性”，此后才有自觉运用知识做事的能力。那种只从理论上空谈对知识的理解、应用，而不把其知识同具体实践相结合的，则不是马谡，就是王明。结合实际应用的方式很多，不一定要边干才能边应用，也可以在脑子里先同具体实践结合应用则就变成切实可行的计划，还可以通过这上面所说的一种或几种方式“深刻经历”性应用后，则就具备了知识的应用能力素质。
作为市场经济社会中的数学学习、研究，对每个式子数学、图示数学都必须同时学习、学会这三步，具备这三种能力。现在为计算机时代，解式子、几何求证的工作已交由计算机、且应该交给计算机去完成。但计算机却不能把数学具体实践化--即数学的这三足鼎立能力是无能为力的，这才得、且只得由我们去完成，只有会这三步，具备了这三种能力，我们才能和计算机分工协作，共同开拓人类的伟大实践。
注：杨贵元2000年至2006年期间写成
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发表于 2026-2-23 13:32
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