元朝天文学以郭守敬等人编制授时历为其高潮。清代所编《畴人传·郭守敬传》说：“推步之术，测与算二者而已。简仪、仰仪、景符、几之制，前此言测候者未之及也；垛叠招差、勾股弧矢之法，前此言算造者弗能用也。
先之以精测，继之以密算，上考下求，若应准绳，施行于世，垂四百年。可谓集古法之大成，为将来之典要者矣。”这不独是对郭守敬等人的评价，也是我国古代天文学的总结。测是观测，代表仪象；算是历算，代表历法。先通过观测实践，再通过计算实践，所得结论是“若应准绳”，便以为法。
一二八○年（至元十七年）授时历编成，郭守敬等人在给忽必烈的奏报中说：自西汉三统历到北宋纪元历共一千一百八十多年，历法改了七十次，其中新创法的有十三家。从纪元历到至元十七年又一百七十多年，授时历考正凡七事，新创法又五事。按授时历中考正七事都是对天文数据的重新测定。
包括冬至时刻、回归年长度、太阳的位置、月亮的位置、交食的辰刻、二十八宿距度和太阳出入时刻。其中测二十八宿距度比北宋崇宁年间观测的还要精细。回归年长度则采用了统天历的数据而加以详细证明。创法五事都是对天文计算的改革，可归纳为两点，一是全面用内插法三次差计算并定出公式，即所谓“垛叠招差”。二是引进了球面直角三角形法，即所谓“立浑比量”。
元朝在天文学上还有一项重要的成就，即一二七九年（至元十六年）的大规模纬度测量。这次测量在二十七个观测站举行，地理纬度从北纬15°到65°。观测
河南登封元代观星台的结果在陕西行省、河南行省和中书省直辖地的十四个观测点用纬度值来比较，平均误差在半度以内。可见观测的精细可贵。
数学
与天文学关系密切的数学，宋元时代也很发达，出现了好几位有成就的数学家。北宋有贾宪，南宋末有秦九韶和杨辉，金末有李冶，元初有朱世杰。秦、杨、李、朱是金元之际数学上的四大家。
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贾宪
贾宪是天文学家楚衍晚年的学生，做过右班殿直和左班殿直。时在沈括之前。王洙《谈录》上说：“贾宪运算亦妙，有书传于世。”贾宪在数学上的发明有二：一是开方作法本源图，就是指数为正整数的二项式定理系数表，从商除、平方、立方、四次方一直到六次方的系数列成一个图，世称贾宪三角形。比西方同样的巴斯加三角形要早六百年。
二是增乘开方法，是解一元多次方程求正根的一种简便方法。这种方法也比西方为早。商除是一次，平方是二次（是面积），立方是三次（是体积），这都容易理解。再进一步碰到四次是什么，要突破这一点，确实很非凡，开四次方可以，则开多次方便可类推了。贾宪为我国古代代数学的发展奠定了基础。
贾宪以后，沈括在数学上也做了些工作。一项叫会圆术，就是已知弓形的弦和圆径求弧长。在我国历史上首先提出孤线与直线的关系，但沈括的结论还是一近似公式（这公式元朝郭守敬等人撰授时历时用到它）。又一项叫隙积术，用到一种高阶等差级数求和的方法。沈括还发明了指数相乘的法则。物理学上凹面镜成倒像的解释，沈括说箩家叫“格术”。天文学上推算五星运动的顺逆留合，沈括说算家叫“缀术”。测量学上的审方面势，沈括说算家叫“喜术”。当时对待数学和其他科学的关系，于此可见。
秦九韶，南宋未普州安岳人。早年曾在杭州从隐君子受数学。一二四七年（淳枯七年）著《数书九章》一书。他在著作中发展了贾宪的增乘开方法，解一个一元十次方程式，并附有算图。算图中列算式如层层剥笋，秩序井然，所以现在还有人把增乘开方法叫“秦九韶程序”。秦九韶还发明了整数论中一次同余式组的普遍解法，这就是闻名世界的中国剩余定理。
金代，数学上发明了天元术。大约金中时开始流行，之后得到迅速的推进。一一八四年（大定二十四年），平阳毕履道为了校订地理书用到当时流行的算法。又有平阳人蒋周著《益古》一书，记录了天元术。还有金都水监颁印的《河防通议》（约在明昌年间）也有算法讲到天元术。蒋周这部书已伏，《河防通议》中的算法可以从元人引用中得知。最早的天元术比较简单，立出算式只是解一个一元二次方程。天元术发明后，平阳、太原、东平、真定等地区广为传播。
天元术以“元”代表未知数X，以“太”代表常数项。列式时把元字写在算码的右侧，如11元即表示2x，或单写太，如11太也同。写了元便不写太，写了太便不写元。方程式的各项是从下而上，即太在元下，太是常数项，元是X项，元上是X2项，再上是X3项等等。太下是1/X（即X-1）项，再下是X-2项等等。也有记法从上而下恰恰相反。在用算筹排列时，正数用红色筹。负数用黑色筹。用算码时，正负数也用红黑色区别，但为了书写方便，可在算码的个位数加一斜撇，如-2作■，-231作‖川卜。天元术的方法一般是根据问题中已有条件，立天元一（x）为未知数（所求数），最后列出方程式，解方程得数。至于解方程式在一元三次以上，就要用到贾宪的方法。
金末在真定府一带流传的一部数学著作叫《洞渊测圆》，指演算勾股容圆（直角三角形的内接圆）算题共有十三问。李冶根据此书加以推广，又集天元术的大成，写出了他的名著《测圆海镜》。
天元术出现后，很自然地发展为天地二元木，天地人三元术和天地人物四元术。这大概已是元代的事了。
现在流传下来的元代数学著作有：《锦囊启源》、《透廉细草》、《丁巨算法》（一三五五年），只存辑本；《算法全能集》、《详明算法》、《算学启蒙》（一二九九年）、《四元玉鉴》（一三○三年）存有足本。后两书都是朱世杰所撰。朱世杰是元朝数学家的代表，也是当时世界上杰出的数学家之一。
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发表于 2016-5-3 11:06
发表于 2016-5-3 11:23
